洛谷P1108《低价购买》

二月 14, 2019 2567

最长下降子序列套一个玄学计数

题目描述

“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价( 2^{16} 范围内的正整数)，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买；再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。

这里是某支股票的价格清单：

日期 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
价格 68,69,54,64,68,64,70,67,78,62,98,87
最优秀的投资者可以购买最多44次股票，可行方案中的一种是：

日期 2,5,6,10
价格 69,68,64,62

输入输出格式

输入格式

第1行: N(1≤N≤5000)，股票发行天数

第2行: N个数，是每天的股票价格。

输出格式

两个数:
最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数( \le 2^{31} )当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这22种方案被认为是相同的。

输入输出样例

输入样例

1
2
12
68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87

输出样例

1
4 2

解题思路

首先第一问肯定谁都会求
跑一遍最长下降子序列算完

关键是第二问

令 dp[i] 表示以 i 结尾的最长下降子序列的长度， cdp[i] 表示以 i 结尾的最长下降子序列的个数
规定 s[\ ] 为「原序列」

那么就有

  • 当 dp[i] = dp[j] 且 s[i] = s[j] 时，就直接把 cdp[j] 记为 0 ，防止重复计数
  • 当 dp[i] = dp[j] + 1 且 s[i] < s[j] 时，说明数列能接上了， cdp[i] = cdp[i] + cdp[j]

最后答案输出

\sum_{i = 1}^{n} cdp[i] \ (dp[i] = \text{The max value of array } dp[i] )

即可

代码实现

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#include <iostream>

#define FILE_IN(__fname) freopen(__fname, "r", stdin)
#define FILE_OUT(__fname) freopen(__fname, "w", stdout)
#define IMPROVE_IO() std::ios::sync_with_stdio(false)

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

const int MAXN = 5000 + 10;

int n, a[MAXN], dp[MAXN], cdp[MAXN], maxLen;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if (a[i] < a[j]) dp[i] = std::max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
        if (dp[i] == 0) dp[i] = 1;
        maxLen = std::max(maxLen, dp[i]);
        for (int j = 1; j < i; ++j) {
            if (dp[i] == dp[j] && a[i] == a[j]) cdp[j] = 0;
            else if (dp[i] == dp[j] + 1 && a[i] < a[j]) cdp[i] += cdp[j];
        }
        if (cdp[i] == 0) cdp[i] = 1;
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (dp[i] == maxLen) ans += cdp[i];
    }
    cout << maxLen << ' ' << ans << endl;
    return 0;
}