BZOJ3884 洛谷P4139《上帝与集合的正确用法》

七月 18, 2019 3077

2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}}

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。
一句话题意：
求 2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}}\bmod p 的值

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

1
2
3
4
3
2
3
6

Sample Output

1
2
3
0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

解析

一开始看到这个题目，我是懵逼的

这题让我们求 2^\infty\bmod p 的值，考虑把它转化一下

根据扩展欧拉定理可知
MATHJAX-SSR-173
所以把它变成第三条的形式
MATHJAX-SSR-174
把第一个2的指数摘出来单独康一康
MATHJAX-SSR-175
设 \varphi(p) + \varphi(p) = a ，上式变为
MATHJAX-SSR-176
好像在哪见过……那就再来一遍
MATHJAX-SSR-177
这是个递归式！

那么解法就很显然了：
根据扩展欧拉定理，把指数部分变形，然后递归进去继续变形指数部分的指数部分……

找一找递归出口
在模 p 的意义下，一个数的取值范围是 [0,p-1]
考虑让这个数变成定值，显然 p=1 时，这个数为 0
这个就是递归出口，当模数为1时，返回0

求 \varphi(i) 建议使用根号算法，更快一些

代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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24
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27
28
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39
40
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49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>

#define FILE_IN(__fname) freopen(__fname, "r", stdin)
#define FILE_OUT(__fname) freopen(__fname, "w", stdout)
#define rep(a,s,t,i) for (int a = s; a <= t; a += i)
#define repp(a,s,t,i) for (int a = s; a < t; a += i)
#define countdown(s) while (s --> 0)
#define IMPROVE_IO() std::ios::sync_with_stdio(false)

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int getint() { int x; scanf("%d", &x); return x; }
long long int getll() { long long int x; scanf("%lld", &x); return x; }

long long int p;

long long int fastPower(long long int x, long long int a, long long int p) {
    long long int ret = 1;
    if (a == 0) return x;
    while (a) {
        if (a & 1) ret = ret * x % p;
        x = x * x % p;
        a >>= 1;
    }
    return ret;
}

long long int phi(long long int x) {
    long long int ret = x, a = x;
    for (long long int i = 2; i * i <= a; ++i) {
        if (a % i == 0) { // 如果i是a的质因子
            ret = ret / i * (i - 1);
            while (a % i == 0) a /= i; // 筛去所有的i
        }
    }
    if (a > 1) ret = ret / a * (a - 1);
    return ret;
}

long long int solve(long long int pp) {
    if (pp == 1) return 0;
    long long int pf = phi(pp);
    return fastPower(2, solve(pf) + pf, pp);
}

int main() {
    int T = getint();
    countdown (T) {
        p = getll();
        printf("%lld\n", solve(p));
    }
    return 0;
}